Question

10．已知圆C经过点（1，$\sqrt{3}$），圆心在直线y=x上，且被直线y=-x+2截得的弦长为2$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点（$\frac{3}{2}$，0），与圆C交于P，Q两点，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，根据圆心在直线上和弦长公式，即可求得a，b，r；
（2）利用向量坐标化，求得直线方程．

解答 解：（1）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵圆心在y=x上
∴b=a①
∵$圆经过点（1，\sqrt{3}）$
∴$（1-a）^{2}+（\sqrt{3}-b）^{2}={r}^{2}②$
∵$圆被直线y=-x+2截得的弦长为2\sqrt{2}$
∴${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}③$
$又∵d=\frac{|a+b-2|}{\sqrt{2}}$④
联立以上四式得，a=b=0，r=2
∴圆的方程为x²+y²=4
（2）当直线l斜率为0时，此时，l：y=0，不满足题意；
当直线l斜率不为0时，设l方程为：x=my+$\frac{3}{2}$，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{3}{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得：$（{m}^{2}+1）{y}^{2}+3my-\frac{7}{4}=0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-3my}{{m}^{2}+1}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-7}{4（{m}^{2}+1）}}\end{array}\right.$
∵$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=${（m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}+\frac{3}{2}m（{y}_{1}+{y}_{2}）+\frac{9}{4}=-2$
代入得，${m}^{2}=\frac{5}{4}即m=±\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴$直线方程为2x±\sqrt{5}y-3=0$．

点评 本题考查了圆的方程，向量坐标化．