Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F（

3

，0），且椭圆C经过点P（

3

，

1

2

 ）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线x=m（m＞a）于M点，若k_PA，k_PM，k_PB成等差数列，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得

a2-b2=3 3 a2 + 1 4b2 =1

，解除即可；
（2）设直线l：y=k（x-

3

），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，y_m），将直线方程代入椭圆方程x²+4y²=4中，得（1+4k²）x²-8

3

k2x+12k²-4=0，利用斜率公式及等差中项公式可得km的方程，消掉k可求m；

解答： 解：（1）由题意，得

a2-b2=3 3 a2 + 1 4b2 =1

，解得a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设直线l：y=k（x-

3

），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，y_m），
将直线方程代入椭圆方程x²+4y²=4中，得（1+4k²）x²-8

3

k2x+12k²-4=0，
则x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

12k2-4

1+4k2

，
此时kPA=

y1- 1 2

x1- 3

=k-

1

2(x1- 3 )

，kPB=

y2- 1 2

x2- 3

=k-

1

2(x2- 3 )

，
∴k_PA+k_PB=[k-

1

2(x1- 3 )

]+[k-

1

2(x2- 3 )

]
=2k-

x1+x2-2 3

2[x1x2- 3 (x1+x2)+3]

=2k-

8 3 k2 1+4k2 -2 3

2( 12k2-4 1+4k2 - 3 • 8 3 k2 1+4k2 +3)

=2k-

3

．
又M（m，y_m）在直线l上，∴ym=k(m-

3

)，
则kPM=

ym- 1 2

m- 3

=k-

1

2(m- 3 )

．
∵k_PA，k_PM，k_PB成等差数列，
∴2k_PM=k_PA+k_PB，则2k-

1

m- 3

=2k-

3

，解得m=

4 3

3

．

点评：本题考查椭圆的方程性质、直线与椭圆的位置关系、等差中项及斜率公式，考查学生的运算求解能力．