题目内容

已知函数f（x）=
cosx
x
（x＞0），g（x）=sinx-ax（x＞0）．
（Ⅰ）函数f（x）=
cosx
x
（x＞0）的零点从小到大排列，记为数列{xn}，求{xn}的前n项和Sn；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设点P是函数φ（x）与ω（x）图象的交点，若直线l同时与函数φ（x），ω（x）的图象相切于P点，且函数φ（x），ω（x）的图象位于直线l的两侧，则称直线l为函数φ（x），ω（x）的分切线．
探究：是否存在实数a，使得函数f（x）与g（x）存在分切线？若存在，求出实数a的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．
考点：数列与函数的综合,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）根据函数零点的定义得
cosx
x
=0，由x的范围和余弦函数的特殊值，判断出数列{xn}是等差数列，代入等差数列的通项公式求出Sn；
（Ⅱ）由f（x）≥g（x）分离出常数a，再构造函数φ(x)=
xsinx-cosx
x2
，求出导数判断出单调性求出函数的极大值、最大值，即求出a的范围；
（Ⅲ）根据条件得：“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”在（0，+∞）上恒成立，根据极限思想进行排除，再根据a的范围求出函数图象的交点坐标，求出切线方程后利用导数，分别判断出函数f（x）、g（x）的图象与切线的位置关系．
解答： 解：（Ⅰ）由题意得，
cosx
x
=0（x＞0），则cosx=0，
∴x=
π
2
+kπ，则xn=
π
2
+(n-1)π，
∴数列{xn}是以π为公差、以
π
2
为首项的等差数列，
则Sn=
nπ
2
+
n(n-1)π
2
=
n2π
2
；
（Ⅱ）∵f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴
cosx
x
≥sinx-ax，得a≥
xsinx-cosx
x2
，
设φ(x)=
xsinx-cosx
x2
，
则φ′(x)=
(xsinx-cosx)′x2-(xsinx-cosx)(x2)′
x4

=
cosx(x2+2)
x3

∵x＞0，x2+2＞0，
∴φ（x）在区间(0，
π
2
)上单调递增，在区间(
π
2
，
3π
2
)上单调递减，
在区间(
π
2
+2kπ，
3π
2
+2kπ)(k∈z)上单调递减，
在区间(
3π
2
+2kπ，
5π
2
+2kπ)(k∈z)上单调递增，
∴φ（x）的极大值为φ(
π
2
+2kπ)=
1
π
2
+2kπ
(k∈N)，
故φ（x）的最大值为φ(
π
2
)=
2
π
，
所以a≥
2
π
，
（Ⅲ）若函数f（x）与g（x）存在分切线，则有“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”
在（0，+∞）上恒成立，
当x→0时，f（x）=
cosx
x
→+∞，g（x）=sinx-ax→0，
∴?x0∈（0，?）使得f（x）＞g（x），∴f（x）≤g（x）在（0，+∞）上不恒成立，
∴只能是f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，
由（Ⅱ）得，a≥
2
π
，∵函数f（x）与g（x）必须存在交点，
∴a=
2
π
，
当a=
2
π
时，函数f（x）与g（x）的交点为：(
π
2
，0)，
∴f′(
π
2
)=-
2
π
=g′(
π
2
)，
则存在直线y=-
2
π
x+1在点(
π
2
，0)处同时与f（x）、g（x）相切，
故猜测函数f（x）与g（x）分切线为：y=-
2
π
x+1，证明如下：
①∵f(x)-(-
2
π
x+1)=
cosx+
2
π
x2-x
x
，
设h(x)=cosx+
2
π
x2-x，则h′(x)=-sinx+
4
π
x-1，
设t(x)=-sinx+
4
π
x-1，则t′(x)=-cosx+
4
π
＞0，
∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h′（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，
∵h′(
π
2
)=0，∴h，（x）在（0，
π
2
）上单调递减，在（
π
2
，+∞）上单调递增，
∴h(x)≥h(
π
2
)=0，∴f(x)-(-
2
π
x+1)≥0
即f(x)≥-
2
π
x+1在（0，+∞）上恒成立，
∴函数f（x）的图象位于直线y=-
2
π
x+1的上方，
②∵g(x)-(-
2
π
x+1)=sinx-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴函数g（x）的图象位于直线y=-
2
π
x+1的下方，
由此可知，函数f（x）与g（x）存在分切线：y=-
2
π
x+1，
当a=
2
π
时，函数f（x）与g（x）存在分切线为：y=-
2
π
x+1．
点评：本题考查三角函数、导数及应用，等差数列等基础知识，考查运算求解能力、等价转化能力，化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为
 
．
△ABC中，若
a
cosB
=
b
cosA
，则该三角形一定是（　　）
A、等腰三角形但不是直角三角形
B、直角三角形但不是等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、等腰三角形或直角三角形
将半径分别为2和1的两个球完全装入底面边长为4的正四棱柱容器中，则该容器的高至少为（　　）
A、6
B、3+2
2
C、3+
7
D、3+
6
设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，
2Sn
n
=an+1-
1
3
n2-n-
2
3
，n∈N*．
（1）求a2的值；
（2）求证：数列{
an
n
}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式．
如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA∥BG∥DE，BG=
1
4
AF，DE=
3
4
AF，四边形ABCD是正方形，AF=AB．
（1）求证：GC∥平面ADEF；
（2）求二面角C-GE-D余弦值．
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a•2n-1
（1）若a=3，求a1和a4的值；       
（2）若{an}是等比数列，求a的值．
直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，圆C的参数方程为
x=2cosθ
y=2sinθ+1
（θ为参数），直线l的极坐标方程为θ=
π
4
（ρ∈R）．
（1）求圆C及直线l的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求
CA
•
CB
的值．
如图，三角形ABC中AB=3，AC=6，∠BAC=60°，D为BC中点．
（1）试用向量
AB
和
AC
表示
BC
；
（2）求BC的长；
（3）求中线AD的长．

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