题目内容

如图，三角形ABC中AB=3，AC=6，∠BAC=60°，D为BC中点．
（1）试用向量
AB
和
AC
表示
BC
；
（2）求BC的长；
（3）求中线AD的长．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）结合图形，根据题意得出
BC
；
（2）求出|
BC
|2，即得|
BC
|的长；
（3）由
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
），求出|
AD
|2，即得|
AD
|的长．
解答： 解：（1）如图所示，根据向量的加法法则，得；
BC
=
BA
+
AC
=-
AB
+
AC
；…（2分）
（2）∵|
BC
|2=
BC
2=(-
AB
+
AC
)2
=
AB
2-2
AB
•
AC
+
AC
2
=32-2×3×6×cos60°+62
=27，…（5分）
∴|
BC
|=3
3
；…（6分）
（3）∵
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
），…（8分）
∴|
AD
|2=
1
4
(
AB
+
AC
)2=
1
4
（
AB
2+2
AB
•
AC
+
AC
2）
=
1
4
（32+2×3×6×cos60°+62）
=
63
4
；…（9分）
∴|
AD
|=
3
7
2
．…（10分）
点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应结合图形，利用向量的运算法则，求向量的模长，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
cosx
x
（x＞0），g（x）=sinx-ax（x＞0）．
（Ⅰ）函数f（x）=
cosx
x
（x＞0）的零点从小到大排列，记为数列{xn}，求{xn}的前n项和Sn；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设点P是函数φ（x）与ω（x）图象的交点，若直线l同时与函数φ（x），ω（x）的图象相切于P点，且函数φ（x），ω（x）的图象位于直线l的两侧，则称直线l为函数φ（x），ω（x）的分切线．
探究：是否存在实数a，使得函数f（x）与g（x）存在分切线？若存在，求出实数a的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．
某工人在一天内加工零件产生的次品数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
ξ0123
p0.10.13aa
（1）求a的值和ξ的数学期望；
（2）假设两天内产生的次品数互不影响，求该工人两天内产生的次品数共2个的概率．
如图所示，设l1∥l2∥l3，AB：BC=3：2，DF=10，则DE=
 
．
已知函数f（x）=ax+blnx+c（a，b，c是常数）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，且f（1）=0．
（Ⅰ）求常数f（x）的值；
（Ⅱ）若函数（0，+∞）（f′（x）=a+
b
x
）在区间f（x）内不是单调函数，求实数x=e的取值范围．
已知函数f（x）=ex（e为自然对数的底），g（x）=ln（f（x）+a）（a为常数），g（x）是实数集R上的奇函数．
（1）求证：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）讨论关于x的方程：lng（x）=g（x）•（x2-2ex+m）（m∈R）的根的个数．
已知a＜0，求解关于x的不等式
ax
x-2
＞1．
为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：．
（1）完成频率分布表；
（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
（3）据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性；
（4）数据小于11.20的可能性是百分之几
频率分布表如下：
分组频数频率
[10.75，10.85）30.03
[10.85，10.95）9
[10.95，11.05）130.13
[11.05，11.15）160.16
[11.15，11.25）
[11.25，11.35）200.20
[11.35，11.45）70.07
[11.45，11.55）40.04
[11.55，11.65]0.02
合计1001.00
已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），设f（x）=2
a
•
b
+m+1（m∈R）；
（Ⅰ）求函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[0，
π
6
]时，-4＜f（x-
π
6
）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

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