Question

18．已知函数f（x）的反函数是y=$\frac{1}{{3}^{x}}$，则函数f（2x-x²）的减区间为（0，1]．

Answer 1

分析 由y=$\frac{1}{{3}^{x}}$，解得x=-log₃y，把x与y互换可得y=-log₃x．可得f（x）=-log₃x．于是f（2x-x²）=-$lo{g}_{3}[-（x-1）^{2}+1]$，利用二次函数与复合函数的单调性即可得出．

解答 解：由y=$\frac{1}{{3}^{x}}$，解得x=-log₃y，把x与y互换可得y=-log₃x．
∵函数f（x）的反函数是y=$\frac{1}{{3}^{x}}$，
∴f（x）=-log₃x．
∴f（2x-x²）=-$lo{g}_{3}（2x-{x}^{2}）$=-$lo{g}_{3}[-（x-1）^{2}+1]$，
由2x-x²＞0，解得0＜x＜2．
∴由复合函数的单调性知函数函数f（2x-x²）的减区间为（0，1]．
故答案为：（0，1]．

点评 本题考查了反函数的求法、二次函数与复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．