Question

14．如果p₁•p₂=4（q₁+q₂），证明关于x的二次方程x²+p₁x+q₁=0，x²+p₂x+q₂=0中至少有一个方程有实根．

Answer 1

分析 至少有一个方程有实根的对立面是两个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设所有方程都有实数根，然后由根的判别式解得方程都没有实数根的a的取值范围，其补集即为方程x²+p₁x+q₁=0与方程x²+p₂x+q₂=0中至少有一个方程有实数根，此种方法称为反证法．

解答 证明：假设原命题不成立，
即x²+p₁x+q₁=0与x²+p₂x+q₂=0都无实根．
∴△₁=p₁²-4q₁＜0，△₂=p₂²-4q₂＜0
两式相加得：
p₁²+p₂²-4q₁-4q₂＜0，即p₁²+p₂²＜4（q₁+q₂）
又∵p₁p₂=4（q₁+q₂），∴p₁²+p₂²＜p₁p₂
即：（p₁-$\frac{1}{2}$p₂）²+$\frac{3}{4}$p₂²＜0，此式显然不成立．
故假设不成立，原命题是正确的．

点评 本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中二个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用．