Question

（1）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（2n+1）•2^n-1，用反证法证明数列{a_n}中任何三项都不可能成等比数列；
（2）用数学归纳法证明不等式n!≤（

n+1

2

）ⁿ，n∈N^*．

Answer 1

考点：数学归纳法,反证法与放缩法

专题：证明题,反证法,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）假设存在a_r，a_s，a_t成等比数列，可得（2r+1）（2t+1）•2^r+t-2s=（2s+1）²．等式右边为奇数，要使左边等于右边，则r+t-2s=0，从而可得出矛盾；
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=2时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时成立，利用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立．

解答： 证明：（1）用反证法证明
假设存在a_r，a_s，a_t成等比数列，
则[（2r+1）•2^r-1]•[（2t+1）•2^t-1]=（2s+1）²•2^2s-2．
整理得（2r+1）（2t+1）•2^r+t-2s=（2s+1）²．
等式右边为奇数，要使左边等于右边，则r+t-2s=0．
所以，（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）²，整理得（r-t）²=0，∴r=t．这与r≠t矛盾，
故不存在这样的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列．
（2）①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时成立
②假设当n=k时成立，即k!≤(

k+1

2

)k，
那么当n=k+1时，左边（k+1）!≤(

k+1

2

)k•（k+1）=

(k+1)k+1

2k

．
∵

(k+1)k+1

2k

-(

k+2

2

)k+1=

2(k+1)k+1-[ C 0 k+1 (k+1)k+1+ C 1 k+1 (k+1)k+…+1]

2k+1

＜0，
∴（k+1）!≤(

k+2

2

)k+1，
∴n=k+1时，不等式成立，
综上，不等式n!≤（

n+1

2

）ⁿ，n∈N^*成立．

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，训练了反证法，考查逻辑推理能力．