Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）-k≤0在区间[0，$\frac{7π}{3}$]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积运算、二倍角公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的增区间求出f（x）单调递增区间；
（2）由三角函数图象的平移法则求出g（x），由由x的范围和正弦函数的性质求出g（x）的值域，由条件和恒成立问题转化为求最值，从而求出实数k的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{x}{2}+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得，
$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}（k∈Z）$，
∴函数f（x）的单调递增区间是$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位长度得到g（x）=$sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$的图象，
当$x∈[0，\frac{7π}{3}]$时，$-\frac{π}{6}≤\frac{x}{2}-\frac{π}{6}≤π$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）≤1$，
∴$0≤sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}$，
∵g（x）-k≤0在区间[0，$\frac{7π}{3}$]上恒成立，
∴k≥g（x）_max=$\frac{3}{2}$，
∴实数k的取值范围是[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，向量的数量积运算、二倍角公式，两角和的正弦公式等，以及恒成立问题的转化，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．