Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$（n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列时的大前提、小前提和结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列{a_n}的递推公式可得a₂，a₃，a₄，进而可猜想通项公式；
（Ⅱ）由三段论的模式和等差数列的定义可证．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{5}$
猜想：a_n=$\frac{2}{n+2}$；
（Ⅱ）∵通项公式为a_n的数列{a_n}，若a_n+1-a_n=d，d是常数，
则{a_n}是等差数列，…大前提
又∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，为常数；…小前提
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列．…结论

点评 本题考查简单的逻辑推理和数列的递推公式，属基础题．