Question

已知直线l：2x-3y+1=0，点A（-1，-2）．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m′的方程；
（3）直线l关于点A（-1，-2）对称的直线l′的方程．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据斜率，中点关系，得出

y0+2 x0+1 =- 3 2 2× x0-1 2 -3× y0-2 2 +1=0

求解即可．
（2）利用夹角公式求解直线的对称问题，

|k- 2 3 |

|1+ 2 3 k|

=

| 3 2 - 2 3 |

|1+ 3 2 × 2 3 |

解得：k=

3

2

（舍去）k=

9

46

，
（3）利用直线关于点的对称的直线上的点的关系求解．

解答： 解：（1）点A（-1，-2）．点A关于直线l的对称点A′的坐标为（x₀，y₀），
∵直线l：2x-3y+1=0，
∴

y0+2 x0+1 =- 3 2 2× x0-1 2 -3× y0-2 2 +1=0

x₀=-3，y₀=1，
（2）

2x-3y+1=0 3x-2y-6=0

解得：x=4，y=3，
直线l，m的交点为（4，3），
设m的斜率为k，

|k- 2 3 |

|1+ 2 3 k|

=

| 3 2 - 2 3 |

|1+ 3 2 × 2 3 |

解得：k₁=

3

2

（舍去），k₂=

9

46

，
直线m′的方程为：y-3=

9

46

（x-4），
即：9x-46y-162=0
（3）设直线l关于点A（-1，-2）对称的直线l′上的点的坐标为N（x，y）．
∴N（x，y）关于点A（-1，-2）对称点为N′（-2-x，-4-y）
∴N′（-2-x，-4-y）在直线l：2x-3y+1=0上，
代入直线方程得：直线l′的方程为：2x-3y-9=0，

点评：本题考察了直线 点的对称问题，属于中档题，计算量大，做题要认真．