Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上．
（Ⅰ）求异面直线D₁E与A₁D所成的角；
（Ⅱ）若二面角D₁-EC-D的大小为45°，求点B到平面D₁EC的距离．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：解法一：（Ⅰ）连结AD₁．判断AD₁是D₁E在平面AA₁D₁D内的射影．得到异面直线D₁E与A₁D所成的角．
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足为F，连结D₁F，说明∠DFD₁为二面角D₁-EC-D的平面角，∠DFD₁=45°．利用等体积法，求点B到平面D₁EC的距离．
解法二：分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）通过向量的数量积为0，即可求异面直线D₁E与A₁D所成的角；
（Ⅱ）

m

=（0，0，1）为面DEC的法向量，设

n

=（x，y，z）为面CED₁的法向量，通过二面角D₁-EC-D的大小为45°，求出x、y、z的关系，结合

n

⊥

D1C

，求出平面的法向量，利用d=

| CB • n |

| n |

求点B到平面D₁EC的距离．

解答： 解：解法一：（Ⅰ）连结AD₁．由AA₁D₁D是正方形知AD₁⊥A₁D．
∵AB⊥平面AA₁D₁D，
∴AD₁是D₁E在平面AA₁D₁D内的射影．
根据三垂线定理得AD₁⊥D₁E，
则异面直线D₁E与A₁D所成的角为90°．…（5分）
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足为F，连结D₁F，则CE⊥D₁F．
所以∠DFD₁为二面角D₁-EC-D的平面角，∠DFD₁=45°．于是DF=DD1=1，D1F=

2

，
易得 Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，所以BE=

3

．
设点B到平面D₁EC的距离为h，则由于VB-CED1=VD-BCE，即f'（x），
因此有CE•D₁F•h=BE•BC•DD₁，即2

2

h=

3

，∴h=

6

4

．…..…（12分）
解法二：如图，分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由A₁（1，0，1），得

DA1

=(1，0，1)，
设E（1，a，0），又D₁（0，0，1），则

D1E

=(1，a，-1)．
∵

DA1

•

D1E

=1+0-1=0∴

DA1

⊥

D1E

，则异面直线D₁E与A₁D所成的角为90°．…（5分）
（Ⅱ）

m

=（0，0，1）为面DEC的法向量，设

n

=（x，y，z）为面CED₁的法向量，
则|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m || n |

=

|z|

x2+y2+z2

=cos45°=

2

2

，
∴z²=x²+y²．①
由C（0，2，0），得

D1C

=(0，2，-1)，则

n

⊥

D1C

，即

n

•

D1C

=0，∴2y-z=0②
由①、②，可取

n

=(

3

，1，2)，又

CB

=(1，0，0)，
所以点B到平面D₁EC的距离d=

| CB • n |

| n |

=

3

2 2

=

6

4

．…（12分）

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角、异面直线及其所成的角、点、线、面间的距离计算、二面角的平面角及求法，考查空间想象能力以及计算能力．