Question

已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．

Answer 1

考点：圆的一般方程,圆的标准方程

专题：证明题,直线与圆

分析：选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴．本题关键是求出圆心O′的坐标．过O′作AC的垂线，垂足为M，M是AC的中点，垂足M的横坐标与O′的横坐标一致．同理可求出O′的纵坐标．即可得出结论．

解答： 证明：如图所示，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系．设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E，则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点，由线段的中点坐标公式，得
x_O′=x_M=

a+c

2

，y_O′=y_N=

b+d

2

，x_E=

a

2

，y_E=

d

2

．
所以|O′E|=

1

2

b2+c2

．
又|BC|=

b2+c2

，
所以|O′E|=

1

2

|BC|．

点评：本题考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．