Question

18．（$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$） ⁶+（ $\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$） ⁶=2；若 n 为奇数，则（$\frac{1+i}{\sqrt{2}}$） ⁴ⁿ+（$\frac{1-i}{\sqrt{2}}$） ⁴ⁿ=-2．

Answer 1

分析 利用复数的运算法则、周期性即可得出．

解答 解：（$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$） ⁶+（ $\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$） ⁶=$[（\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}）^{3}]^{2}$+$[（\frac{1+\sqrt{3}i}{2}）^{3}]^{2}$
=1+$[\frac{1}{8}+3×\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}i+3×\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}]$×$[\frac{1}{8}+3×\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}i+3×\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}]$
=1+（-1）²=2．
 n 为奇数，则（$\frac{1+i}{\sqrt{2}}$） ⁴ⁿ+（$\frac{1-i}{\sqrt{2}}$） ⁴ⁿ=$[\frac{（1+i）^{2}}{2}]^{2n}$+$[\frac{（1-i）^{2}}{2}]^{2n}$
=i ²ⁿ+（-i） ²ⁿ=（-1）ⁿ+（-1）ⁿ=-2．
故答案为：2，-2．

点评 本题考查了复数的运算法则、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．