Question

7．已知函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤\frac{π}{2}）$的图象过点$M（0，\frac{1}{2}）$，最小正周期为$\frac{2π}{3}$，且最小值为-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间$[\frac{π}{18}，\frac{5π}{9}]$上的单调区间．

Answer 1

分析 （1）先根据最值确定A，再根据周期确定ω，最后根据M点坐标计算φ；
（2）求出f（x）的单调区间，与所给区间取交集即可得出单调区间．

解答 解：（1）∵f（x）的最小值为-1，且A＞0，∴A=1，
∵f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，ω＞0，∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，即ω=3．
∵f（x）的图象过点M（0，$\frac{1}{2}$），∴sinφ=$\frac{1}{2}$，
又0≤φ≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的解析式为：f（x）=sin（3x+$\frac{π}{6}$）．
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{2π}{9}$+$\frac{2kπ}{3}$≤x≤$\frac{π}{9}$+$\frac{2kπ}{3}$，k∈Z．
[-$\frac{2π}{9}$+$\frac{2kπ}{3}$，$\frac{π}{9}$+$\frac{2kπ}{3}$]∩[$\frac{π}{18}$，$\frac{5π}{9}$]=[$\frac{π}{18}$，$\frac{π}{9}$]∪[$\frac{4π}{9}$，$\frac{5π}{9}$]，
∴f（x）的增区间为$[\frac{π}{18}，\frac{π}{9}]，[\frac{4π}{9}，\frac{5π}{9}]$，减区间为$[\frac{π}{9}，\frac{4π}{9}]$．

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，正弦函数的性质，属于中档题．