Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得S_n-1+n-1=2a_n-1，与条件式相减得出递推式，从而可得结论；求出{a_n+1}的通项即可得出{a_n}的通项公式；
（2）将b_n分成等差数列与等比数列分别求和．

解答 解：（1）证明：令n=1得a₁+1=2a₁，∴a₁=1，
当n≥2时，∵S_n+n=2a_n，∴S_n-1+n-1=2a_n-1，
两式相减得：a_n+1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2，n∈N^*），
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=a_n+2n+1=2ⁿ+2n．
∴T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}+2.\frac{{（{1+n}）n}}{2}$=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．

点评 本题考查了等比数列的判定，等差数列与等比数列的前n项和公式，属于中档题．