Question

19．数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-1，
（1）求数列{a_n}前n项的和为S_n；
（2）令b_n=$\frac{S_n}{n}$，求数列{2ⁿb_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=4n-1，数列{a_n}是等差数列，公差d=4，a₁=3，根据等差数列前n项和公式，数列{a_n}前n项的和为S_n；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{S_n}{n}=2n+1$，2ⁿb_n=（2n+1）×2ⁿ，利用“错位相减法”即可求得数列{2ⁿb_n}的前n项的和T_n．

解答 解：（1）∵a_n=4n-1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差d=4，且a₁=4-1=3，
${S_n}=3n+\frac{n（n-1）}{2}×4=2{n^2}+n$；---（6分）
（2）由（1）知b_n=$\frac{S_n}{n}=2n+1$，
显然数列{b_n}是等差数列，且b₁=2+1=3，
则${T_n}=3×2+5×{2^2}+7×{2^3}+$…+（2n+1）×2ⁿ①
2${T_n}=3×{2^2}+5×{2^3}+7×{2^4}+$…+（2n+1）×2ⁿ⁺¹②
①-②得：$-{T_n}=6+{2^3}+{2^4}$+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）×2ⁿ⁺¹=（1-2n）2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=2-（1-2n）2ⁿ⁺¹---（12分）

点评 本题考查等差数列通项公式及前n项和公式，考查利用错位相减法”求数列前n项的和，考查计算能力，属于中档题．