Question

9．已知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴所在的直线方程；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2$\sqrt{3}$，且a＜b，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的图象的对称轴所在的直线方程．
（Ⅱ）在△ABC中，由题意f（C）=3，∴求得sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，从而求得C=$\frac{π}{6}$，再利用余弦定理可得 cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a²+b²=7，结合条件求得a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得函数f（x）的图象对称轴所在的直线方程为：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
（Ⅱ）在△ABC中，f（C）=2sin（2C+$\frac{π}{6}$）+1=3，∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1．
再根据c=1，ab=2$\sqrt{3}$ ①，且a＜b，可得C不是最大角，故2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a²+b²=7  ②．
由①②求得 a=$\sqrt{3}$，b=2．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，余弦定理，属于中档题．