Question

10．在区间（0，2）内任取两个数a，b，则使方程x²+（a²-2）x+b²=0的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{π}{8}$
• C． $\frac{π}{16}$
• D． $\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 依题意，要使方程两根分别作为椭圆，双曲线的离心率，则有0＜x₁＜1＜x₂，令f（x）=x²+（a²-2）x+b²，则f（0）＞0，f（1）＜0，由此能求出使方程x²+（a²-2）x+b²=0的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率．

解答 解：依题意，要使方程两根分别作为椭圆，双曲线的离心率，
则有0＜x₁＜1＜x₂，
令f（x）=x²+（a²-2）x+b²，
∴f（0）=b²＞0，f（1）=1+（a²-2）×1+b²＜0，
∴b＞0，a²+b²＜1，
∴使方程x²+（a²-2）x+b²=0的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率：
p=$\frac{\frac{π}{4}}{4}$=$\frac{π}{16}$．
故选：C．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用．