Question

19．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心D，作∠BPC的平分线交CB于点D．
（1）求证：CD=CE．
（2）若PA=2，PC=5，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆的切线的性质、角平分线的性质，证明∠CDE=∠CED，即可证明：CD=CE．
（2）利用切割线定理，结合条件证明△PCA∽△PBC，利用勾股定理，求AC的长．

解答 （1）证明：∵PC是⊙O的切线，∴∠PCE=∠B，
∵PD平分∠BPC，∴∠CPD=∠BPD，
∵∠CDE=∠B+∠BPD，∠CED=∠PCE+∠CPD，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE．    …（5分）
（2）∵PC是切线，∴PC²=PA•PB，
∵PA=2，PC=4，∴PB=8，
∴AB=6，
∵∠PCA=∠B，∠APC=∠CPB，
∴△PCA∽△PBC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
设AC=x，则BC=2x，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
根据勾股定理可得AB=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=6，∴x=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即AC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，…（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质、角平分线的性质，考查切割线定理，三角形相似的判定与性质，属于中档题．