Question

18．如图，直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，其中A是切点，记h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g（x）=ax-f（x），则（　　）

• A． g（x）的极小值点小于极大值点，且极小值为-2
• B． g（x）的极小值点大于极大值点，且极大值为2
• C． h（x）只有一个极值点
• D． h（x）有两个极值点，且极小值点小于极大值点

Answer 1

分析 设f（x）的极大值点为m，f′（m）=a，x＜m，f′（x）＞a，x＞m，f′（x）＜a，判断g′（m）=0，x＜m，g′（x）＜0，x＞m，g′（x）＞0，即可得出结论．

解答 解：∵直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，
∴ax+2=f（x）有两个解，
设f（x）的极大值点为m，∴f′（m）=a，x＜m，f′（x）＞a，x＞m，f′（x）＜a．
g（x）=ax-f（x），g′（x）=a-f′（x），∴g′（m）=a-f′（m），
∴g′（m）=0，x＜m，g′（x）＜0，x＞m，g′（x）＞0，
∴x=m是函数的极小值点，且g（m）=am-f（m）=-2，
同理g（x）有极大值，
故选：A

点评 本题主要考查函数零点的判断以及极值的判断，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．