Question

4．在正三棱锥P-ABC中，底面边长AB=$\sqrt{2}$，侧棱PA=1，M，N分别是线段PA，BC上的动点（可以和端点重合），则|MN|的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}，\sqrt{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算、向量模的计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，∵PA=PB=PC=1，AB=BC=CA=$\sqrt{2}$，
${1}^{2}+{1}^{2}=（\sqrt{2}）^{2}$，
∴PA，PB，PC两两垂直．
建立空间直角坐标系．
设M（x，0，0），（x∈[0，1]）．
设$\overrightarrow{BN}$=λ$\overrightarrow{BC}$，（λ∈[0，1]）．
则$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{PB}$+λ$\overrightarrow{BC}$=（0，1-λ，λ），
∴$\overrightarrow{MN}$=（-x，1-λ，λ），
∴$|\overrightarrow{MN}|$=$\sqrt{{x}^{2}+（1-λ）^{2}+{λ}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，
当$λ=\frac{1}{2}$，x=0时，$|\overrightarrow{MN}|$取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；当λ=0或1，x=1时，$|\overrightarrow{MN}|$取得最大值$\sqrt{2}$．
∴$|\overrightarrow{MN}|$∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}]$．
故选：A．

点评 本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量的坐标运算、向量模的计算公式解决问题的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．