Question

10．已知实数x，y满足：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≤0}\\{3x-2y+4≥0}\\{x-3y-1≤0}\end{array}\right.$，则3^x+9^y的最小值为（　　）

• A． 82
• B． 4
• C． $\frac{2}{9}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，设z=2x+y，求出z的最大值，再利用基本不等式求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≤0}\\{3x-2y+4≥0}\\{x-3y-1≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

令z=x+2y，化为y=-$\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$，
由图可知，当直线y=-$\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$过A（-2，-2）时直线y轴上的截距最小为z=-4，
∴3^x+9^y≥$2\sqrt{{3}^{x}•{3}^{2y}}=2\sqrt{{3}^{x+2y}}=2×\sqrt{{3}^{-4}}$=$\frac{2}{9}$．
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及指数函数的单调性的性质，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，是中档题．