题目内容
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
=（b，2a-c），
=（cosB，cosC），且
∥
．
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-
）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在[0，
]上的最大值和最小值，及相应的x的值．
| m |
| n |
| m |
| n |
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-
| B |
| 2 |
| π |
| 2 |
考点：平行向量与共线向量,正弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）利用向量共线定理可得（2a-c）cosB-bcosC=0，再利用正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，化为cosB=
，即可得出．
（2）利用两角和差的正弦余弦公式可得f（x）=
sin(ωx+
)，再利用
=π，解得ω．可得f（x）=
sin(2x+
)．再利用正弦函数的单调性即可得出．
| 1 |
| 2 |
（2）利用两角和差的正弦余弦公式可得f（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| ω |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：
解：（1）∵
∥
，
∴（2a-c）cosB-bcosC=0，
由正弦定理可得
=
=
=k＞0，
∴（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，
化为2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA＞0，
∴cosB=
，
∵B∈（0，π），∴B=
．
（2）f（x）=cos(ωx-
)+sinωx=cosωxcos
+sinωxsin
+sinωx
=
cosωx+
sinωx
=
(
sinωx+
cosωx)
=
sin(ωx+
)，
∵ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，
∴
=π，解得ω=2．
∴f（x）=
sin(2x+
)．
∵x∈[0，
]，∴(2x+
)∈[
，
]，
∴f（x）在[0，
]上单调递增；在[
，
]单调递减．
∴当x=
时，f（x）取得最大值，f(
)=
；
又f（0）=
，f(
)=-
．
∴当x=
时，f（x）取得最小值，f(
)=-
．
| m |
| n |
∴（2a-c）cosB-bcosC=0，
由正弦定理可得
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∴（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，
化为2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA＞0，
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
∵B∈（0，π），∴B=
| π |
| 3 |
（2）f（x）=cos(ωx-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
| π |
| 6 |
∵ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，
∴
| 2π |
| ω |
∴f（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴f（x）在[0，
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴当x=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
又f（0）=
| ||
| 2 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴当x=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查了向量共线定理、正弦定理、两角和差的正弦余弦公式、正弦函数的图象与性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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