Question

5．已知f（x）=x³-6x²+9x+a有三个不同的零点，则下述判断中一定正确的是（　　）

• A． a为任意实数
• B． a=f′（3）
• C． a＞f′（3）
• D． a＜f′（3）

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到函数的单调区间，进一步求得函数的极值，由极大值大于0且极小值小于0求得a的范围，然后逐一核对四个选项得答案．

解答 解：∵f（x）=x³-6x²+9x+a，∴f′（x）=3x²-12x+9，
由f′（x）=3x²-12x+9=0，得x=1或x=3，
当x∈（-∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1，3）时，f′（x）＜0．
∴x∈（-∞，1），（3，+∞）时，f（x）为增函数；当x∈（1，3）时，f（x）为减函数，
∴f（x）的极大值为f（1）=4+a，f（x）的极小值为f（3）=a．
要使f（x）=x³-6x²+9x+a有三个不同的零点，则$\left\{\begin{array}{l}{4+a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，即-4＜a＜0．
∵f′（3）=0，∴a＜f′（3）．
故选：D．

点评 本题考查函数零点的判定定理，考查了利用导数求函数的极值，是中档题．