Question

10．已知f（x）=$\frac{{{{10}^x}-{{10}^{-x}}}}{{{{10}^x}+{{10}^{-x}}}}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）证明f（x）是定义域内的增函数；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性的定义判断证明f（-x）=-$\frac{{{{10}^x}-{{10}^{-x}}}}{{{{10}^x}+{{10}^{-x}}}}$=-f（x），即可判定函数的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义，设x₁＜x₂，利用作差法证明f（x₁）＜f（x₂），即可得出函数的单调性；
（3）根据函数的单调性与奇偶性，化抽象函数为具体函数，即可解不等式．

解答 解（1）（x）是奇函数，理由如下：
∵f（x）的定义域为R，且f（-x）=-$\frac{{{{10}^x}-{{10}^{-x}}}}{{{{10}^x}+{{10}^{-x}}}}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数．…（4分）
证明：（2）f（x）=$\frac{{{{10}^x}-{{10}^{-x}}}}{{{{10}^x}+{{10}^{-x}}}}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$
设x₁＜x₂，则                      …（5分）
f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{1{0}^{2{x}_{1}}+1}$--（1-$\frac{2}{1{0}^{2{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2（1{0}^{2{x}_{1}}-1{0}^{2{x}_{2}}）}{（1{0}^{2{x}_{1}}+1）（1{0}^{2{x}_{2}}+1）}$  …（7分）
∵y=10^x为增函数，
∴当x₁＜x₂时，$1{0}^{2{x}_{1}}-1{0}^{2{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在定义域上为增函数．…（9分）
（3）不等式可化为f（1-m）＞-f（1-m²）        …（10分）
由（1）知f（x）是奇函数，
∴f（1-m）＞f（m²-1）…（11分）
由（2）知f（x）在定义域上为增函数，
∴1-m＞m²-1   …（12分）
解得-2＜m＜1．…（14分）

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．