Question

13．设函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（|x|）+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x取值范围是$（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$．

Answer 1

分析 由解析式求出函数f（x）的定义域，化简f（-x）由函数奇偶性定义，判断出f（x）的奇偶性，判断出f（x）的单调性，由奇偶性和单调性转化不等式，即可求出答案．

解答 解：由题意得，函数f（x）定义域是{x|x≠0}，
∵f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（|-x|）+$\frac{1}{{（-x）}^{2}+1}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（|x|）+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，
∵偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）＞f（2x-1）
∴|x|＜|2x-1|，解得$x＜\frac{1}{3}或x＞1$，
∴不等式的解集是$（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$，
故答案为：$（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$．

点评 本题考查对数函数的奇偶性和单调性的综合应用，以及转化思想，考查化简、变形能力．