Question

若关于实数x的不等式|x+1|+|x-2|＞a²-2a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-1，3）
• B、[-1，3]
• C、（-∞，-1）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[3，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：首先分析题目已知不等式|x+1|+|x-2|＞a²-2a恒成立，求a²-2a的取值范围，即需要a²-2a小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x-2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x到点-1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在-1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案．

解答： 解：已知不等式|x+1|+|x-2|＞a²-2a恒成立，即需要a²-2a小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．
故设函数y=|x+1|+|x-2|． 设-1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．
则函数y=|x+1|+|x-2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．
可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．
即：y=|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x-2|的最小值为3．
即：a²-2a＜3
解得-1＜a＜3．
故选：A．

点评：此题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x-a|+|x-b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．