Question

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0），若f（x）在[s，t]上的值域也是[s，t]（s≠t），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：易知函数f（x）=

1

a

-

1

x

在（0，+∞）上增函数，则由题意可得s，t是方程ax²-x+a=0的两个不同的实根，由韦达定理可解得．

解答： 解：∵a＞0，x＞0，
∴易知函数f（x）=

1

a

-

1

x

在（0，+∞）上增函数，
又∵f（x）在[s，t]上的值域也是[s，t]（s≠t），
∴

1

a

-

1

s

=s，

1

a

-

1

t

=t；
则s，t是方程ax²-x+a=0的两个不同的实根，
则△=1-4a²＞0，
则-

1

2

＜a＜

1

2

，
又∵a＞0．
∴0＜a＜

1

2

．

点评：本题考查了函数的值域的应用，属于基础题．