Question

10．已知f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+{2}}}$，x∈R．
（1）求证：对一切实数x，f（x）=f（1-x）恒为定值．
（2）计算：f（-6）+f（-5）+f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+{2}}}$，x∈R．利用函数性质能推导出对一切实数x，f（x）+f（1-x）恒为定值1．
（2）由f（x）+f（1-x）=1，能示出f（-6）+f（-5）+f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）的值．

解答 证明：（1）∵f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+{2}}}$，x∈R．
∴对一切实数x，
f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+{2}^{\;}}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+{2}^{\;}}$
=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+{2}^{\;}}+\frac{4}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+{2}}}$+$\frac{2}{2+{4}^{x}}$=1，
∴对一切实数x，f（x）+f（1-x）恒为定值1．
解：（2）∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f（-6）+f（-5）+f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）
=[f（-6）+f（7）]+[f（-5）+f（6）]+[f（-4）+f（5）]+[f（-3）+f（4）]
+[f（-2）+f（3）]+[f（-1）+f（2）]+[f（0）+f（1）]
=1+1+1+1+1+1+1=7．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．