Question

（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足,且,其中.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）因为,即………2分

又,所以有,所以…………3分

所以数列是公比为的等比数列，由得,解得……4分

故数列的通项公式为…………5分

（Ⅱ）因，………6分， 所以

即数列是首项为,公比是的等比数列，所以…………7分

则，又

………9分

当时，

当时，，当时，

猜想：（）…………10分，下面用数学归纳法证明

①当时，,上面不等式显然成立；………11分

②假设当时，不等式成立…………12分

当时，………13分

综上①②对任意的均有

又， 所以对任意的均有…………14分

证明二：(Ⅱ) 因，………6分， 所以

即数列是首项为,公比是的等比数列，所以…………7分

则，又

………9分

当时，………10分

因为………12分

        ∵，∴………13分

 ，即对任意的均有………14分