Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n为其前n项和，且对任意r、t∈N^*，都有

Sr

St

=(

r

t

)2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=

1

an+12-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）在

Sr

St

=(

r

t

)2中取r=n，t=1求得Sn=n2．然后求出当n≥2时的通项公式，已知n=1时成立后得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

1

an+12-1

，然后利用裂项相消法数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由

Sr

St

=(

r

t

)2，得

Sn

S1

=n2，而a₁=1=S₁，∴Sn=n2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
当n=1时该式成立，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）b_n=

1

an+12-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．