Question

9．若两曲线y=x²-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围是（0，2e）．

Answer 1

分析 分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围．

解答 解：两曲线y=x²-1与y=alnx-1存在公切线，
y=x²-1的导数y′=2x，y=alnx-1的导数为y′=$\frac{a}{x}$，
设y=x²-1相切的切点为（n，n²-1）与曲线y=alnx-1相切的切点为（m，alnm-1），
y-（n²-1）=2n（x-n），即y=2nx-n²-1，
y-（alnm-1）=$\frac{a}{m}$（x-m），即：y=$\frac{a}{m}x-a+alnm-1$
∴$\left\{\begin{array}{l}{2n=\frac{a}{m}}\\{{n}^{2}+1=a+1-alnm}\end{array}\right.$
∴$\frac{{a}^{2}}{4{m}^{2}}=a-alnm$∵a＞0，
∴$\frac{a}{4{m}^{2}}=1-lnm$
即$\frac{a}{4}={m}^{2}（1-lnm）$有解即可，
令g（x）=x²（1-lnx），
y′=2x（1-lnx）+${x}^{2}（-\frac{1}{x}）$=x（1-2lnx）=0，可得x=$\sqrt{e}$，
∴g（x）在（0，$\sqrt{e}$）是增函数；（$\sqrt{e}$，++∞）是减函数，g（x）的最大值为：g（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$，
又g（0）=0，
∴0$＜\frac{a}{4}＜\frac{e}{2}$，∴0＜a＜2e．
故答案为：（0，2e）

点评 本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．