题目内容
当0＜x＜
时，函数f（x）=
+
的最小值是 ．
| π |
| 2 |
| 1 |
| sin2x |
| 16 |
| cos2x |
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：由0＜x＜
，可得0＜sin2x＜1，0＜cos2x＜1．令sin2x=a，cos2x=b．函数f（x）=
+
?g（a，b）=
+
，a+b=1，且0＜a，b＜1．再利用
“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
| π |
| 2 |
| 1 |
| sin2x |
| 16 |
| cos2x |
| 1 |
| a |
| 16 |
| b |
“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
解答：
解：∵0＜x＜
，∴0＜sin2x＜1，0＜cos2x＜1．
令sin2x=a，cos2x=b．
则函数f（x）=
+
等价为：g（a，b）=
+
，a+b=1，且0＜a，b＜1．
∴g（a，b）=（a+b）(
+
)=17+
+
≥17+2
=25．当且仅当b=4a=
时取等号．
即函数f（x）=
+
的最小值是25．
故答案为：25．
| π |
| 2 |
令sin2x=a，cos2x=b．
则函数f（x）=
| 1 |
| sin2x |
| 16 |
| cos2x |
| 1 |
| a |
| 16 |
| b |
∴g（a，b）=（a+b）(
| 1 |
| a |
| 16 |
| b |
| b |
| a |
| 16a |
| b |
|
| 4 |
| 5 |
即函数f（x）=
| 1 |
| sin2x |
| 16 |
| cos2x |
故答案为：25．
点评：本题考查了问题的等价转化方法、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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