Question

在（

2

+

3	5

）¹⁰⁰的展开式中，有理项的个数是

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令2的指数与5的幂指数都正整数，据已知条件求出k的个数即可．

解答： 解：（

2

+

3	5

）¹⁰⁰的展开式的通项为

C

r 100

2

100-r

2

•5

r

3

，要使其为有理数，2的幂指数为整数，5的幂指数都正整数，所以r为6倍数
设r=6且0≤r≤100，r∈N）
∴k=0，1，2，3，4，…，16
∴展开式中共有17个有理项．
故答案为：17．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查有理项是幂的指数为整数．