Question

19．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{y-z≤2}\\{y≥1}\end{array}\right.$，则（x+2）²+（y-3）²的最大值和最小值之和为（　　）

• A． $\frac{19}{2}$
• B． $\frac{35}{2}$
• C． 14
• D． 18

Answer 1

分析 画出不等式组表示的平面区域，根据（x+2）²+（y-3）²的几何意义求出最小值与最大值，再求和即可．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{y-z≤2}\\{y≥1}\end{array}\right.$表示的平面区域如图所示；
其中点A（-1，1），B（1，1），C（0，2），
而（x+2）²+（y-3）²的几何意义是平面区域内的点（x，y）与点（-2，3）的距离的平方，
最小值为点（-2，3）到直线x-y+2=0的距离的平方，
即d²=${（\frac{|-2-3+2|}{\sqrt{2}}）}^{2}$=$\frac{9}{2}$；
最大值为点（-2，3）到点B的距离的平方，即d′²=（1+2）²+（1-3）²=13，
所以最大值与最小值之和为$\frac{9}{2}$+13=$\frac{35}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的思想方法，是中档题．