Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+1．
（1）当a=1时，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）在[0，1]上的最小值为$\frac{11}{12}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）在[0，1]上的最小值为$\frac{11}{12}$，即可求a的值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+1，f′（x）=x²-1   …（1分）
∴f′（0）=-1  …（2分）
∵f（0）=1 …（3分）
所以切线的方程为y-1=-（x-0），即 y=-x+1 …（4分）
（2）f′（x）=x²-a   …（5分）
?当a≤0时，f′（x）＞0对x∈（0，1）成立，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1       …（6分）
因为1≠$\frac{11}{12}$，所以a≤0不成立  …（7分）
?当a＞0时，令f'（x）=x²-a=0，x1=-$\sqrt{a}$，x2=$\sqrt{a}$，
当0＜a＜1时，$\sqrt{a}$＜1，当x∈（0，$\sqrt{a}$）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（$\sqrt{a}$，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在x=$\sqrt{a}$处取得最小值f（$\sqrt{a}$）=1-$\frac{2a\sqrt{a}}{3}$=$\frac{11}{12}$，∴$a=\frac{1}{4}$．
当a≥1时，$\sqrt{a}$≥1，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=$\frac{4}{3}$-a．                
令$\frac{4}{3}$-a=$\frac{11}{12}$，解得a=$\frac{5}{12}$（舍去）                               
综上$α=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查导数的几何意义、单调性，属于中档题．