Question

13．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且关于x的方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1．
（1）求出S₁，S₂，S₃；
（2）猜想{S_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）由题设求出S₁=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{2}{3}$．S₃=$\frac{3}{4}$．
（2）由此猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．

解答 解：（1）当n=1时，x²-a₁x-a₁=0有一根为S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n=2时，x²-a₂x-a₂=0有一根为S₂-1=a₂-$\frac{1}{2}$，
于是（a₂-$\frac{1}{2}$）²-a₂（a₂-$\frac{1}{2}$）-a₂=0，
解得a₂=$\frac{1}{6}$
由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
得S₁=a₁=$\frac{1}{2}$，S₂=a₁+a₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．
由①可得S₃=$\frac{3}{4}$．
（2）由（1）猜想S_n=$\frac{n}{n+1}$，n=1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即S_k=$\frac{k}{k+1}$，
当n=k+1时，由①得S_k+1=$\frac{1}{2-{S}_{k}}$，可得S_k+1=$\frac{k+1}{k+2}$，故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知S_n=$\frac{n}{n+1}$对所有正整数n都成立．

点评 本题考查数列的综合应用，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．