Question

已知函数 ．

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；

（Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a ²-3)上存在极值，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．

 

Answer 1

【答案】

（1）                 （2）

（3）先结合导数分析证明函数f(x)在(0，2)内单调递减．那么得到结论。

【解析】

试题分析：．解：（Ⅰ），     1分

，                     2分

因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行

所以，                  3分

所以．                            4分

（Ⅱ）令，      5分

即，所以 或．                       6分

因为a>0，所以不在区间(a，a²-3)内，

要使函数在区间(a，a ²-3)上存在极值，只需．             7分

所以．                                              9分

（Ⅲ）证明：令，所以 或．

因为a>2，所以2a>4，                                              10分

所以在(0，2)上恒成立，函数f(x)在(0，2)内单调递减．

又因为，，                    11分

所以f(x)在(0，2)上恰有一个零点．                                12分

考点：导数的运用

点评：主要考查了导数在研究函数中的运用，属于基础题。