Question

已知等差数列前n项和S_n，若满足S₃=0，S₅=-1，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

a2n-1×a2n+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等差数列的前n项和公式解方程组即可求{a_n}的通项公式；
（2）求出求数列{

1

a2n-1×a2n+1

}的、通项公式，利用裂项法即可求前n项和S_n．

解答： 解：（1）由等差数列的性质可得

S3=3a1+3d=0 S5=5a1+10d=-1

解得a₁=-

1

5

，d=

1

5

，
则{a_n}的通项公式a_n=-

1

5

+

1

5

（n-1）=

1

5

n-

2

5

=

1

5

（n-2）；
（2）

1

a2n-1×a2n+1

=

1

1 5 (2n-3)× 1 5 (2n-1)

=

25

2

（

1

2n-3

-

1

2n-1

）
则数列{

1

a2n-1×a2n+1

}的前n项和S_n=

25

2

（

1

-1

-

1

1

+

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

）=

25

2

（-1-

1

2n-1

）=

-25n

2n-1

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力．