Question

15．求函数y=a${\;}^{-{x}^{2}+3x+2}$（a＞0且a≠1）的单调区间．

Answer 1

分析 令t=-x²+3x+2=-${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{17}{4}$，分类讨论，根据y=a^t 的单调性和函数t的单调性间的关系，求得y的单调区间．

解答 解：令t=-x²+3x+2=-${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{17}{4}$，故函数t在（-∞，$\frac{3}{2}$）上单调递增，在[$\frac{3}{2}$，+∞）上单调递减，
故当a＞1时，y=a^t 的单调性和函数t的单调性相同，即函数y在（-∞，$\frac{3}{2}$）上单调递增，在[$\frac{3}{2}$，+∞）上单调递减．
当0＜a＜1时，y=a^t 的单调性和函数t的单调性相反，即函数y在（-∞，$\frac{3}{2}$）上单调递减，在[$\frac{3}{2}$，+∞）上单调递增．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于中档题．