Question

6．直线x-y+1=0与椭圆mx²+ny²=1（m，n＞0）相交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标是-$\frac{1}{3}$，求双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0）的两条渐近线所成的夹角的大小．

Answer 1

分析 把直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，进而根据x₁+x₂═-$\frac{2}{3}$，求得n和m的关系，求得渐近线的斜率，进而根据两条渐近线夹角为渐近线的斜率的两倍，进而根据正切的二倍角公式求得答案．

解答 解：把直线x-y+1=0与椭圆mx²+ny²=1（m，n＞0）联立，消去y得（m+n）x²+2nx+n-1=0
∴x₁+x₂=-$\frac{2n}{m+n}$=-$\frac{2}{3}$
∴$\frac{n}{m}$=$\frac{1}{2}$
∴两条渐近线夹角的正切值为$\frac{2•\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$
故两条渐近线所成的夹角的大小为arctan$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．要熟练记忆双曲线关于渐近线、焦点、定义等知识点．