Question

已知在四面体ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，过EF任作α，求证：它把三棱锥体积分成相等的两部分．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：分类证明，先证明特殊，：（1）当过EF的平面α，为平面ABF时，（2）当过EF的平面α，为平面ECD时，根据等底等高证明，（3）把几何体分解：V_AEGCDH=V_A-EGFH+V_A-CGF，V_BEGFHD=V_B-EGFH+V_B-EHF，转化为等底等高证明．

解答： 证明：（1）当过EF的平面α，为平面ABF时，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴V_C-ABF=V_D-ABF，
∴它把三棱锥体积分成相等的两部分
（2）当过EF的平面α，为平面ECD时，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴V_A-ECD=V_B-ECD，
∴它把三棱锥体积分成相等的两部分
（3）当过EF的平面α，分别取AC、BD的中点M、N，
则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，
且AD与BC到平面MENF的距离相等，
因此对于任意的平面α，都有S_△EFG=S_△EFH．

V_AEGCDH=V_A-EGFH+V_A-CGF，
V_BEGFHD=V_B-EGFH+V_B-EHF
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴V_A-EGFH=V_B-EGFH，
V_A-CGF=V_B-EHF
∴V_AEGCDH=V_BEGFHD
它把三棱锥体积分成相等的两部分
综上所述：E、F分别为AB、CD的中点，过EF任作α，它把三棱锥体积分成相等的两部分．

点评：本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．