Question

3．设a=sin15°+cos15°，b=sin16°+cos16°，则下列各式正确是（　　）

• A． a＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$＜b
• B． a＜b＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$
• C． b＜a＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$
• D． b＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$＜a

Answer 1

分析 计算a²，b²，根据正弦函数的性质比较a²，b²，得出a，b的大小，使用作差法比较b和$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$的大小关系．

解答 解：∵a²=1+2sin15°cos15°=1+sin30°，b²=1+2sin16°cos16°=1+sin32°，
∴1＜a²＜b²，∵a＞0，b＞0．∴1＜a＜b．
∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$-b=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-2b}{2}$＞$\frac{{b}^{2}-2b+1}{2}$=$\frac{（b-1）^{2}}{2}$＞0．
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}＞b$．
故选：B．

点评 本题考查了正弦函数的性质，使用不等式比较大小，属于中档题．