Question

8．用数学归纳法证明：7ⁿ+3n-1（n∈N^*）能被9整除．

Answer 1

分析 先验证n=1成立，再假设n=k成立，推导n=k+1成立即可．

解答 证明：（1）当n=1时，7ⁿ+3n-1=9，显然能被9整除，
（2）假设n=k时，7^k+3k-1能被9整除，则7^k+3k-1=9m，m∈N^*．
∴7^k=9m-3k+1．
∴则n=k+1时，7^k+1+3（k+1）-1=7•7^k+3k+2=63m-21k+7+3k+2=63m-18k+9=9（7m-2k+1）．
∴当n=k+1时，7^k+1+3（k+1）-1能被9整除．
∴7ⁿ+3n-1（n∈N^*）能被9整除．

点评 本题考查了数学归纳法证明，掌握数学归纳法的证明步骤是重点，由n=k到n=k+1的转化是证明关键．