Question

6．已知函数f（x）=-x³（x＞0），若f（m）-$\frac{1}{2}$m²≤f（1-m）-$\frac{1}{2}$（1-m）²，则m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²=-x³-$\frac{1}{2}$x²（x＞0），得到F（x）在（0，+∞）递减，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：由于f（m）-$\frac{1}{2}$m²≤f（1-m）-$\frac{1}{2}$（1-m）²，
令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²=-x³-$\frac{1}{2}$x²（x＞0），
则F（x）在（0，+∞）递减，
不等式F（m）≤F（1-m）．
故$\left\{\begin{array}{l}{m≥1-m}\\{m＞0}\\{1-m＞0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{2}}\\{m＞0}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{2}$≤m＜1，
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的解法，是一道基础题．