题目内容

7．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=-x3+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=ex+1；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0.\end{array}\right.$
其中“H函数”的个数是②③．

分析 不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答 解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，
∴不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①y=-x3+x+1；y'=-3x2+1，则函数在定义域上不单调．
②y=3x-2（sinx-cosx）；y’=3-2（cosx+sinx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，函数单调递增，满足条件．
③y=ex+1为增函数，满足条件．
；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0.\end{array}\right.$
当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为②③，
故答案为：②③．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．

练习册系列答案
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