Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\{log_a}x，x≥1\end{array}$满足：对任意实数x₁，x₂，当x₁＜x₂时，总有f（x₁）-f（x₂）＞0，那么实数a的取值范围是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由已知可得函数是（-∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．

解答 解：∵对任意实数x₁，x₂，当x₁＜x₂时，总有f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\{log_a}x，x≥1\end{array}$是（-∞，+∞）上的减函数，
当x≥1时，y=log_ax单调递减，
∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f（x）=（3a-1）x+4a单调递减，
∴a＜$\frac{1}{3}$；
又函数在其定义域内单调递减，
故当x=1时，（3a-1）x+4a≥log_ax，得a≥$\frac{1}{7}$，
综上可知，a的取值范围为[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）
故答案为：[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）

点评 分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．