Question

11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，导函数为f′（x），当x∈（-∞，0]时，f（x）有唯一的零点-3，且恒有xf′（x）＜f（-x），则满足不等式$\frac{f（x）}{x}≤0$的实数x的取值范围是[-3，0）∪[3，+∞）．（结果用集合或区间表示）

Answer 1

分析 根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）-f（x）＜0，得到：[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0，进一步分析出奇函数的单调性，分别讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：f（x）定义在R上的偶函数f（x），则f（-x）=f（x），
当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x）=f（x），
则：xf′（x）-f（x）＜0，即：[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0，
∴函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（-∞，0）上是单调递减函数．
由于f（x）为偶函数，
则F（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-F（x），则：F（x）为奇函数．
所以函数F（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
而f（-3）=0，则F（-3）0，F（3）=0，
∵$\frac{f（x）}{x}≤0$，∴x＜0时：F（x）≤F（-3），解得：-3≤x＜0，
x＞0时，F（x）≤F（3），解得：x≥3
故答案为：[-3，0）∪[3，+∞）．

点评 本题考查的知识要点：函数的性质的应用，单调性和奇偶性的应用，是一道中档题．