Question

1．已知函数f（x）=cosx（sinx-cosx）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）展开多项式乘多项式，利用倍角公式降幂再用两角差的正弦化积，则周期可求；
（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出sin（2x$-\frac{π}{4}$）的范围得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（sinx-cosx）=cosxsinx-cos²x
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}=\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$．
∴T=$\frac{2π}{2}=π$；
（Ⅱ）∵$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，∴2x∈[$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
则2x$-\frac{π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}，\frac{π}{4}$]，
则sin（2x$-\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为0和$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．