Question

12．设函数f（x）=$\frac{x}{e^x}$，f′（x）为f（x）的导函数，定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N^*），经计算f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{e^x}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{e^x}$，…，根据以上事实，由归纳可得：当n∈N^*时，f_n（x）=f（x）=$\frac{n-x}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=$\frac{x}{e^x}$，记f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N^*），分析出f_n（x）解析式随n变化的规律，可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{e^x}$，
f₁（x）=$\frac{1-x}{e^x}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{e^x}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{e^x}$，…，
由此归纳可得：f_n（x）=$\frac{n-x}{{e}^{x}}$，
故答案为：f（x）=$\frac{n-x}{{e}^{x}}$．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．